Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA=AD=AC=2，PD=

2

PA，△PCD是以CD为底边的等腰三角形，且点F为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BFD；
（2）求二面角C-BF-D的余弦值；
（3）求三棱锥B-CDF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC∩BD=O，显然OF是三角形△PAC的中位线，可得PA∥OF，即可证明：PA∥平面BFD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面BFD、平面BFC的一个法向量，利用向量的夹角公式求二面角C-BF-D的余弦值；
（3）利用等体积转换求三棱锥B-CDF的体积．

解答： （1）证明：由已知，PD=PC=

2

PA，PA=AD=AC=2，
∴∠PAD=∠PAC=90°，即PA⊥AD，PA⊥AC．
又∵AD∩AC=A，
∴PA⊥平面ABCD．
设AC∩BD=O，显然OF是三角形△PAC的中位线，
∴PA∥OF，
又∵PA?平面BFD，OF?平面BFD，
∴PA∥平面BFD．…（4分）
（2）解：由（1）可知OF⊥平面ABCD，故不妨以O为原点，如图建立空间直角坐标系．
则

OC

=(0，1，0)，

BC

=(-

3

，1，0)，

BF

=(-

3

，0，1)，

且

OC

是平面BFD的一个法向量．…（5分）
设平面BFC的一个法向量为

u

=(x，y，z)，则

u • BC =0 u • BF =0

⇒

- 3 x+y=0 - 3 x+z=0

令z=

3

⇒

x=1 y= 3 z= 3

∴

u

=(1，

3

，

3

)…（7分）
设二面角C-BF-D的大小为θ，则cosθ=

u • OC

| u |•| OC |

=

3

1× 7

=

21

7

∴二面角C-BF-D的余弦值为

21

7

．…（9分）
（3）解：∵S△BCD=

1

2

BD•OC=

1

2

×2

3

×1=

3

，OF⊥平面ABCD…（11分）
∴VB-CDF=VF-BCD=

1

3

•S△BCD•OF=

1

3

×

3

×1=

3

3

．…（13分）

点评：本题考查线面平行、垂直的判定，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定是关键．