Question

双曲线的两条渐近线的方程为y=±

2

x，且经过点（3，-2

3

）．
（1）求双曲线的方程；
（2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先根据双曲线的两条渐近线的方程为y=±

2

x，可设双曲线的方程为2x²-y²=λ（λ≠0），然后根据双曲线过点（3，-2

3

），代入求解即可；
（2）设A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），过F且倾斜角为60°的直线方程为y=

3

(x-3)，和双曲线的方程联立，根据韦达定理，求出|AB|的值即可．

解答： 解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为y=±

2

x，
∴可设双曲线的方程为2x²-y²=λ（λ≠0），
又∵双曲线经过点（3，-2

3

），代入方程可得λ=6，
∴所求双曲线的方程为

x2

3

-

y2

6

=1；
（2）设A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），
过F且倾斜角为60°的直线方程为y=

3

(x-3)，
联立，可得 

y= 3 (x-3) 2x2-y2=6

所以x²-18x+33=0，
由韦达定理得x₁+x₂=18，x₁x₂=33，
则弦长|AB|=

1+k2

|x1-x2|=2

182-4×33

=16

3

．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了待定系数法、弦长公式，以及韦达定理的应用，属于中档题．