Question

A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=

3

，求2b+c的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）根据数量积的坐标运算及二倍角的余弦公式，由条件能求得cosA，从而求得A．
（Ⅱ）求边的取值范围，由于知道了角A和边a，所以可用正弦定理用角来表示边，得出2b+c=4sinB+2sinC，又因为B=

π

3

-C，带入并化简得2b+c=2

3

cosC，因为C的范围是（0，

π

3

），所以便可求出2b+c的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）

m

•

n

=-cos2

A

2

+sin2

A

2

=-cosA=

1

2

；
∴cosA=-

1

2

，∵A∈（0，π），∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）根据正弦定理：

3

3 2

=

b

sinB

=

c

sinC

∴b=2sinB，c=2sinC；
∴2b+c=4sinB+2sinC=4sin(π-

2π

3

-C)+2sinC=2

3

cosC-2sinC+2sinC=2

3

cosC；
∵0＜C＜

π

3

，∴

1

2

＜cosC＜1，∴

3

＜2

3

cosC＜2

3

；
∴2b+c的取值范围是（

3

，2

3

）．

点评：本题考查数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，正弦定理，两角差的正弦公式，余弦函数的单调性．掌握这种把边转化成角，并转化成一个角的方法．