Question

已知函数f（x）=

-e2x+bx+c，x≤1 a(x21nx-x+1)+1，x＞1

，函数f（x）在x=0处取得极值1．
（I）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由题意得，f（0）=1，f′（0）=0，求出b，c；
（Ⅱ）当a＜0时，f'（x）=a（2xlnx+x-1）＜0，f（x）在（1，2]单调递减，f（1）取最小；当a=0时，在（1，2]上f（x）=1；当a＞0时，在（1，2]上f'（x）＞0，f（x）在（1，2]最大值为a（4ln2-1）+1．

解答： 解：（I）由题意当x=0时，f（0）=c-1=1，∴c=2，
当x＜1时，f'（x）=-2e^2x+b，
依题意得f'（0）=-2e⁰+b=0，∴b=2，
经检验

b=2 c=2

符合条件．
（Ⅱ）由（I）知，f(x)=

-e2x+2x+2，x≤1 a(x2lnx-x+1)+1，x＞1

①当-2≤x≤1时，f（x）=-e^2x+2x+2，f'（x）=-2e^2x+2，
令f'（x）=0得x=0，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1
f'（x）		+	0	-
f（x）	-e-4-2	递增	极大值1	递减	4-e2

由上表可知f（x）在[-2，1]上的最大值为1．
②当1＜x≤2时，f（x）=a（x²lnx-x+1）+1，f'（x）=a（2xlnx+x-1），
令g（x）=2xlnx+x-1，
当1＜x≤2时，显然g（x）＞0恒成立，
当a＜0时，f'（x）=a（2xlnx+x-1）＜0，f（x）在（1，2]单调递减，
∴f（x）＜f（1）=1恒成立．
此时函数在[-2，2]上的最大值为1；
当a=0时，在（1，2]上f（x）=1，
当a＞0时，在（1，2]上f'（x）=a（2xlnx+x-1）＞0，
∴在（1，2]上，函数f（x）为单调递增函数．
∴f（x）在（1，2]最大值为a（4ln2-1）+1，
∵a（4ln2-1）+1＞1，
∴函数f（x）在[-2，2]上最大值为a（4ln2-1）+1．
综上：当a≤0时，f（x）在[-2，2]上的最大值为1；
当a＞0时，f（x）在[-2，2]最大值为a（4ln2-1）+1．

点评：本题考查导数的综合运用：求函数的极值，求函数的最值，考查分类讨论的思想方法，以及函数的单调性及运用，属于中档题．