Question

已知点P是x²+y²=a²+b²与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）在第一象限内的交点，F₁、F₂，分别是C的左、右焦点，且满足|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线的离心率e为（　　）

• A、2
• B、

  6

  2

• C、

  5

  2

• D、

  10

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率

解答： 解：依据双曲线的定义：|PF₁|-|PF₂|=2a，又∵|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∵圆x²+y²=a²+b²的半径r=

a2+b2

=c，
∴F₁F₂是圆的直径，
∴∠F₁PF₂=90°
在直角三角形F₁PF₂中
由（3a）²+a²=（2c）²，得e=

c

a

=

10

2

．
故选：D．

点评：本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法，属于中档题．