Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{b}$=（3cosx，-2cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 由已知向量的坐标结合数量积可得f（x）的解析式，再由辅助角公式化简．
（1）直接利用周期公式求得f（x）的最小正周期；
（2）由x的范围结合三角函数的单调性求得求f（x）的值域．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{b}$=（3cosx，-2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx）•（3cosx，-2cosx）=$6co{s}^{2}x-\sqrt{3}sin2x$
=6×$\frac{1+cos2x}{2}-\sqrt{3}sin2x$=$-\sqrt{3}sin2x+3cos2x+3$
=$-2\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{3}）+3$．
（1）函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，
则sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$]．
∴f（x）的值域为[$3-2\sqrt{3}$，6]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．