Question

6．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），且sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
（1）求sinα的值；
（2）求cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$两边平方化简整理即可得sinα的值；
（2）由α∈（$\frac{π}{2}$，π）和sinα的值，即可求出cosα，再由二倍角公式求出sin2α和cos2α，再由两角和的余弦公式计算得答案．

解答 解：（1）∵sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴（sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$）²=$\frac{9}{5}$，即$1+2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}=\frac{9}{5}$．
∴$1+sinα=\frac{9}{5}$．
∴sinα=$\frac{4}{5}$；
（2）∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα=$\frac{4}{5}$，
∴$cosα=-\frac{3}{5}$．
∴sin2α=2sinαcosα=$2×\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）=-\frac{24}{25}$，
$cos2α=2co{s}^{2}α-1=2×（-\frac{3}{5}）^{2}-1=-\frac{7}{25}$．
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=$cos2αcos\frac{π}{3}-sin2αsin\frac{π}{3}$=$-\frac{7}{25}×\frac{1}{2}-（-\frac{24}{25}）×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{24\sqrt{3}-7}{50}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题．