Question

17．已知（x+1）n=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x+1）ⁿ（n≥2，n∈N^*）．．
（1）当n=3时，求$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}$的值；
（2）设b_n=$\frac{a_n}{{{2^{n-2}}}}，{T_n}={b_2}+{b_3}+…+{b_n}$．
①求b_n的表达式；
②使用数学归纳法证明：当n≥2时，T_n=$\frac{{n（{n+1}）（{n-1}）}}{6}$．

Answer 1

分析 （1）分别令x=1，x=$\frac{3}{2}$，即可求出答案，
（2）①根据二项式定理可得b_n的表达式，
②用数学归纳法证明即可

解答 解：（1）记f（x）=（x+1）³，令x=1，得a₀=8，
令$x=\frac{3}{2}得{a_0}+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}=\frac{125}{8}$，
故$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}=\frac{125}{8}-8=\frac{61}{8}$；  
（2）①设x-1=y，则原展开式变为：${（{y+2}）^n}={a_0}+{a_1}y+{a_2}{y^2}+…+{a_n}{y^n}$，
则${a_2}=C_n^2{2^{n-2}}$，
所以${b_n}=\frac{a_2}{{{2^{n-2}}}}={C_n}^2=\frac{n（n-1）}{2}$，
②证明：（i）当n=2时，T₂=1，b₂=1，结论成立；
（ii）假设n=k时成立，即${T_k}=\frac{k（k+1）（k-1）}{6}$，
那么n=k+1时，${T_{k+1}}={T_k}+{b_{k+1}}=\frac{k（k+1）（k-1）}{6}+\frac{k（k+1）}{2}$=$\frac{k（k+1）（k+2）}{6}=\frac{{（k+1）[{（k+1）+1}][{（k+1）-1}]}}{6}$
所以当n=k+1时结论也成立．
综上（i）（ii）当n≥2时，${T_n}=\frac{n（n+1）（n-1）}{6}$．

点评 本题考查了二项式定理和数列的通项公式以及数学归纳法，属于中档题