Question

8．已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，首项a₁=1，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）试猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）n分别取2，3，4，5代入计算，即可求得结论；
（2）猜想a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N*，用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设

解答 解：（1）∵S₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$）=a₁+a₂，即a₂²+2a₂-1=0，解得a₂=$\sqrt{2}$-1，
由S₃=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$）=a₁+a₂+a₃，即a₃²+2$\sqrt{2}$a₃-1=0，解得a₂=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
同理可得a₄=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$，a₅=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$
（2）猜想a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N*
下用数学归纳法证明：
①n=1时，a₁=1，满足；
②假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$，
此时S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$）=$\sqrt{k}$
则当n=k+1时，S_k+1=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），即S_k+a_k+1=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），
即2$\sqrt{k}$+2a_k+1=a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$，
整理得a_k+1²+2$\sqrt{k}$a_k=1-1=0，解得a₁=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$
即当n=k+1时，结论也成立
由①②可知，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N*恒成立

点评 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．