设函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}x.0≤x≤a\\ \frac{1}{1-a}.a＜x≤1\end{array}$.a为常数.且a∈(0.1)．(1)若x0满足f(x0)=x0.则称x0为f(x)的一阶周期点.证明函数f(x)有且只有两个一阶周期点,(2)若x0满足f(f(x0))=x0.且f(x0)≠x0.则称x0为f(x)的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}x，0≤x≤a\\ \frac{1}{1-a}（{1-x}），a＜x≤1\end{array}$，a为常数，且a∈（0，1）．
（1）若x₀满足f（x₀）=x₀，则称x₀为f（x）的一阶周期点，证明函数f（x）有且只有两个一阶周期点；
（2）若x₀满足f（f（x₀））=x₀，且f（x₀）≠x₀，则称x₀为f（x）的二阶周期点，当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的二阶周期点．

分析（1）利用定义通过当0≤x≤a时，当a＜x≤1时，验证函数f（x）有且只有两个一阶周期点．
（2）当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x，0≤x≤\frac{1}{2}\\ 2（{1-x}），\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}\right.$，推出$f（{f（x）}）=\left\{\begin{array}{l}4x，0≤x≤\frac{1}{4}\\ 2-4x，\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}\\ 4x-2，\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}\\ 4-4x，\frac{3}{4}≤x≤1\end{array}\right.$，利用函数的定义域，通过分段求解即可．

解答（1）证明：由题可得，当0≤x≤a时，$\frac{1}{a}x=x$，因为a∈（0，1），所以x=0； …（2分）
当a＜x≤1时，$\frac{1}{1-a}（1-x）=x$，因为a∈（0，1），所以x=$\frac{1}{2-a}$，
所以函数f（x）有且只有两个一阶周期点．…（4分）
（2）解：当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x，0≤x≤\frac{1}{2}\\ 2（{1-x}），\frac{1}{2}＜x≤1\end{array}\right.$
所以$f（{f（x）}）=\left\{\begin{array}{l}4x，0≤x≤\frac{1}{4}\\ 2-4x，\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}\\ 4x-2，\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}\\ 4-4x，\frac{3}{4}≤x≤1\end{array}\right.$…（7分）
当$0≤x≤\frac{1}{4}$时，由4x=x，解得x=0，
因为f（0）=0，故x=0不是f（x）的二阶周期点； …（8分）
当$\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}$时，由2-4x=x，解得$x=\frac{2}{5}$，
因为$f（{\frac{2}{5}}）=2×\frac{2}{5}=\frac{4}{5}≠\frac{2}{5}$，故$x=\frac{2}{5}$是f（x）的二阶周期点； …（9分）
当$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$时，由4x-2=x，解得$x=\frac{2}{3}$，
因为$f（{\frac{2}{3}}）=2×（{1-\frac{2}{3}}）=\frac{2}{3}$，故$x=\frac{2}{3}$不是f（x）的二阶周期点； …（10分）
当$\frac{3}{4}≤x≤1$时，由4-4x=x，解得$x=\frac{4}{5}$，
因为$f（{\frac{4}{5}}）=2×（{1-\frac{4}{5}}）=\frac{2}{5}≠\frac{4}{5}$，故$x=\frac{4}{5}$是f（x）的二阶周期点； …（11分）
综上，当$a=\frac{1}{2}$时，函数f（x）的二阶周期点为x₁=$\frac{2}{5}$，x₂=$\frac{4}{5}$．…（12分）

点评本题考查分段函数的应用，新定义的应用，考查函数与方程的思想的应用，考查计算能力．

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