Question

13．已知数列{a_n}中，a₁=3，n（a_n+1-a_n）=a_n+1，n∈N^*若对于任意的a∈[-1，1]，n∈N^*，不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 n（a_n+1-a_n）=a_n+1，化为：$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}）$+$（\frac{{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{{a}_{n-2}}{n-2}）$+…+$（\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{{a}_{1}}{1}）$+a₁
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$，不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1化为：4-$\frac{1}{n+1}$＜t²-2at+1，根据对于任意的a∈[-1，1]，n∈N^*，不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1恒成立，可得t²-2at+1≥4，化为：t²-2at-3≥0，对t分类讨论即可得出．

解答 解：∵n（a_n+1-a_n）=a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{{a}_{n}}{n}-\frac{{a}_{n-1}}{n-1}）$+$（\frac{{a}_{n-1}}{n-1}-\frac{{a}_{n-2}}{n-2}）$+…+$（\frac{{a}_{2}}{2}-\frac{{a}_{1}}{1}）$+a₁
=$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）$+…+$（1-\frac{1}{2}）$+3
=1-$\frac{1}{n}$+3（n=1时也成立）．
∴不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1化为：4-$\frac{1}{n+1}$＜t²-2at+1，
∵对于任意的a∈[-1，1]，n∈N^*，不等式$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}＜{t^2}$-2at+1恒成立，
∴t²-2at+1≥4，
化为：t²-2at-3≥0，
t≠0，t＞0时，a≤$\frac{{t}^{2}-3}{2t}$，可得1≤$\frac{{t}^{2}-3}{2t}$，化为t²-2t-3≥0，t＞0，解得t≥3．
t＜0时，a≥$\frac{{t}^{2}-3}{2t}$，可得-1≥$\frac{{t}^{2}-3}{2t}$，化为t²+2t-3≥0，t＜0，解得t≤-3．
则实数t的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．
故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．