Question

5．已知数列{a_n}满足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2{a_{n-1}}-2，n=2k+1\\{a_{n-1}}+1，n=2k\end{array}\right.$（k∈N^*），若a₁=1，则S₂₀=2056．

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}的奇数项成首项为1，公比为2的等比数列，其偶数项比其前一项多1，运用分组求和和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：数列{a_n}满足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2{a_{n-1}}-2，n=2k+1\\{a_{n-1}}+1，n=2k\end{array}\right.$（k∈N^*），a₁=1，
可得a₂=a₁+1=2，a₃=2a₂-2=2，a₄=a₃+1=3，a₅=2a₄-2=4，…，
可得数列{a_n}的奇数项成首项为1，公比为2的等比数列，
其偶数项比其前一项多1，
则S₂₀=（1+2+…+2⁹）+（2+3+…+2⁹+1）=$\frac{1-{2}^{10}}{1-2}$+10+$\frac{1-{2}^{10}}{1-2}$
=2¹¹+8=2056．
故答案为：2056．

点评 本题考查数列的求和，注意运用分段数列的特点，得到数列{a_n}的奇数项成首项为1，公比为2的等比数列，其偶数项比其前一项多1，是解题的关键，属于中档题．