Question

如图1­3所示，四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MP⊥AP.

(1)求PO的长；

(2)求二面角A­PM­C的正弦值．

图1­3

Answer 1

解：(1)如图所示，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC∩ BD＝O，且AC⊥BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O ­xyz.

因为∠BAD＝，

所以OA＝AB·cos＝，OB＝AB·sin＝1，

所以O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(－，0，0)，＝(0，1，0)，＝(－，－1，0)．

由BM＝，BC＝2知，＝＝，

从而＝＋＝，

即M.

设P(0，0，a)，a＞0，则＝(－，0，a)，＝.因为MP⊥AP，所以·＝0，即－＋a²＝0，所以a＝或a＝－(舍去)，即PO＝.

(2)由(1)知，＝，＝，＝.设平面APM的法向量为n₁＝(x₁，y₁，z₁)，平面PMC的法向量为n₂＝(x₂，y₂，z₂)．

由n₁·＝0, n₁·＝0，得

故可取n₁＝.

由n₂·＝0，n₂·＝0，得

故可取n₂＝(1，－，－2)．

从而法向量n₁，n₂的夹角的余弦值为

cos〈n₁，n₂〉＝＝－，

故所求二面角A­PM­C的正弦值为.