Question

四面体ABCD及其三视图如图1­4所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.

(1)证明：四边形EFGH是矩形；

(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

　　

图1­4

Answer 1

解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，

BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，

BD＝DC＝2，AD＝1.

由题设，BC∥平面EFGH，

平面EFGH∩平面BDC＝FG，

平面EFGH∩平面ABC＝EH，

∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.

同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG.

∴四边形EFGH是平行四边形．

又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，

∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，

∴四边形EFGH是矩形．

(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，

DA＝(0，0，1)，BC＝(－2，2，0)，

BA＝(－2，0，1)．

设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，

∵EF∥AD，FG∥BC，

∴n·DA＝0，n·BC＝0，

得

方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，

∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得，F(1，0，0)，G(0，1，0)．