Question

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年入流量X	40<X<80	80≤X≤120	X>120
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台．

Answer 1

解　(1)依题意，p₁＝P(40<X<80)＝＝0.2，

p₂＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，

p₃＝P(X>120)＝＝0.1.

由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为】

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．

①安装1台发电机的情形．

由于水库年入流量总大于40，故1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.

②安装2台发电机的情形．

依题意，当40<X<80时，1台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p₁＝0.2；

当X≥80时，2台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p₂＋p₃＝0.8；由此得Y的分布列如下：

Y	4 200	10 000
P	0.2	0.8