如图所示茎叶图记录了甲.乙两组各三名同学在期末考试的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊.无法确认．假设这个数字具有随机性.并在图中以a表示．(1)若甲.乙两个小组的数学平均成绩相同.求a的值,(2)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率,(3)当a=2时.分别从甲.乙两组中各随机选取一名同学.设这两名同学成绩之差的绝对值为X.求随� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认．假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．
（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；
（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（3）当a=2时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，设这两名同学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）利用平均数的计算方法，可求a的值；
（2）确定基本事件总数，乙组平均成绩超过甲组平均成绩的基本事件总数，利用古典概型概率公式，即可求概率；
（3）确定这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可求随机变量X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）依题意，得：

(88+92+92)=

[90+91+(90+a)]
解得 a=1． …（3分）
（2）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，
依题意 a=0，1，2，…，9，共有10种可能．
由（1）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当a=2，3…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
因此乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P(A)=

．…（7分）
（3）解：当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）
则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0，1，2，3，4
因此P(X=0)=

，P(X=1)=

，P(X=2)=

，P(X=3)=

，P(X=4)=

．
…（10分）
所以随机变量X的分布列为：

所以X的数学期望E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

． …（12分）

点评：本题以茎叶图为载体，考查古典概型概率的计算，考查随机变量X的分布列和数学期望，正确求概率是关键．

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