Question

已知函数f（x）=2cos（x-

π

12

），x∈R．
（Ⅰ）求f（-

π

6

）的值；
（Ⅱ）若cos（θ+

π

3

）=

3

5

，θ∈（-

π

2

，

π

2

），求f（2θ+

π

12

）．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：（I）根据函数f（x）的解析式，即可求得f（-

π

6

）的值．
（II）根据θ∈（-

π

2

，

π

2

）及cos（θ+

π

3

）=

3

5

，求得sin（θ+

π

3

）=

4

5

．再利用二倍角公式求得 cos2（θ+

π

3

）和sin2（θ+

π

3

）的值．再由 f（2θ+

π

12

）=2cos2θ=2cos[2（θ+

π

3

）-

2π

3

]，利用两角差的余弦公式计算求得结果．

解答： 解：（I）∵函数f（x）=2cos（x-

π

12

），∴f（-

π

6

）=2cos（-

π

6

-

π

12

）=2cos（-

π

4

）=cos

π

4

=

2

．
（II）∵θ∈（-

π

2

，

π

2

），∴-

π

6

＜θ+

π

3

＜

5π

6

．
∵cos（θ+

π

3

）=

3

5

∈（

1

2

，

2

2

）∴

π

4

＜θ+

π

3

＜

π

3

，∴sin（θ+

π

3

）=

4

5

．
∴cos2（θ+

π

3

）=2cos2(θ+

π

3

)-1=-

7

25

，sin2（θ+

π

3

）=2sin（θ+

π

3

）cos（θ+

π

3

）=

24

25

．
∴f（2θ+

π

12

）=2cos（2θ+

π

12

-

π

12

）=2cos2θ=2cos[2（θ+

π

3

）-

2π

3

]=2cos2（θ+

π

3

）cos

2π

3

+2sin2（θ+

π

3

）sin

2π

3

=2×（-

7

25

）×（-

1

2

）+2

24

25

×

3

2

=

7+24 3

25

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．