Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD．AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F为PC上一点，且CF=2FP．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若二面角F-BE-C为60°，求tan∠APD的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ） 连接AC交BE于点M，连接FM．由EM∥CD，推导出FM∥AP，由此能证明PA∥面BEF．
（Ⅱ）法一：连CE，过F作FH⊥CE于H，过H作HM⊥BE于M，连FM，由已知条件推导出∠FMH为二面角F-BE-C的平面角，由此能求出tan∠APD的值．
（Ⅱ）法二：以E为坐标原点，EB，ED，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出能求出tan∠APD的值．

解答： （本小题满分15分）
（Ⅰ） 证明：连接AC交BE于点M，
连接FM．∵EM∥CD，
∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

=

PF

FC

，FM∥AP，
∵FM?面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF．（6分）
（Ⅱ）解法一：连CE，过F作FH⊥CE于H．由于FH∥PE，
∴FH⊥面ABCD．过H作HM⊥BE于M，
连FM．则FM⊥BE，即∠FMH为二面角F-BE-C的平面角．
∴∠FMH=60°，FH=

3

MH，（10分）
FH=

2

3

PE，MH=

1

3

BC=

2

3

AE，∴PE=

3

AE，（12分）
tan∠APE=

1

3

，tan∠DPE=

2

3

，tan∠APD=3

3

．（15分）
（Ⅱ）解法二：以E为坐标原点，EB，ED，EP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．
则E（0，0，0），B（3，0，0），P（0，0，m），
C（3，2，0），∵

CF

=2

FP

，∴F(1，

2

3

，

2

3

m)，（8分）
设平面BEF的法向量

n1

=(x，y，z)，
由

n • EB =0 n • EF =0

，得

n1

=（0，-m，1），
面ABCD法向量为

n2

=(0，0，1)．（10分）
由于cos60°=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

，解得m=

3

．（12分）
∴tan∠APE=

1

3

，tan∠DPE=

2

3

，tan∠APD=3

3

．（15分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．