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    已知数列{an}，{bn}满足an=（
    1
    2
    ） bn
    （1）若数列{bn}是等差数列，求证{an}是等比数列；
    （2）若数列{an}的前n项和为Sn=1-（
    1
    2
    ）n
    ①设对于任意的正整数n，恒有
    1
    an
    ＞λ（1+
    1
    2b1-1
    ）（1+
    1
    2b2-1
    ）（1+
    1
    2b3-1
    ）…（1+
    1
    2bn-1
    ）成立，试求实数λ的取值范围．
    ②若数列{cn}满足cn=
    		2
    bn+1，问数列{cn}中是否存在不同的三项成等比数列？如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由．
    考点：等差数列与等比数列的综合
    专题：综合题,等差数列与等比数列
    分析：（1）数列{bn}是等差数列，设公差为d，则bn+1-bn=d对n∈N*恒成立，结合an=(
    1
    2
    )bn    ，即可证明{an}是等比数列；
    （2）①先确定数列{an}的通项公式是an=(
    1
    2
    )n    ，可得bn=n，不等式
    1
    an
    ＞λ(1+
    1
    2b1-1
    )(1+
    1
    2b2-1
    )(1+
    1
    2b3-1
    )…(1+
    1
    2bn-1
    )    ，分离参数，利用求最值的方法，即可求实数λ的取值范围；②利用反证法可以得出结论．
    解答： （1）证明：数列{bn}是等差数列，设公差为d，则bn+1-bn=d对n∈N*恒成立，
    由于an=(
    1
    2
    )bn
    所以
    an+1
    an
    =(
    1
    2
    )bn+1-bn=(
    1
    2
    )d    是定值，
    从而数列{an}是等比数列．  …（3分）
    （2）①解：当n=1时，a1=
    1
    2
    ，
    当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(
    1
    2
    )n    ，n=1也适合此式，即数列{an}的通项公式是an=(
    1
    2
    )n    ．         …（5分）
    所以，bn=n…（6分）
    不等式
    1
    an
    ＞λ(1+
    1
    2b1-1
    )(1+
    1
    2b2-1
    )(1+
    1
    2b3-1
    )…(1+
    1
    2bn-1
    )
    可化为λ＜2n×
    1×3×5×…×(2n-1)
    2×4×6×…×2n
    …（8分）
    令f(n)=2n×
    1×3×5×…×(2n-1)
    2×4×6×…×2n
    （n∈N*），则λ＜f（n）min…（9分）
    又
    f(n+1)
    f(n)
    =…=2×
    2n+1
    2n+2
    =
    2n+1
    n+1
    ＞1    恒成立，
    所以，f（n）单调增                  …（10分）
    所以，f（n）min=f（1）=1，
    所以，所求实数λ的取值范围为λ＜1…（11分）
    ②cn=
    		2
    n+1
    假设存在不同的三项cm，cn，ct成等比数列，
    由于{cn}是单调增数列，不妨设m＜n＜t，则cn2=cmct，…（12分）
    ∴(
    		2
    n+1)2=(
    		2
    m+1)(
    		2
    t+1)
    化简得
    		2
    (m+t-2n)=2n2-2mt    ，…（13分）
    由于
    		2
    是无理数，m+t-2n，2n2-2mt均为整数，
    因此
    m+t-2n=0
    2n2-2mt=0
    …（14分）
    消去n，得m2-2mt+t2=0，即（m-t）2=0
    所以，m=t，与m＜n＜t矛盾                     …（15分）
    故不存在不同的三项成等比数列，…（16分）
    点评：本题解决等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项，考查恒成立问题，利用函数的最值是解题的关键．
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    		x
    +
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    A、
    		2
    2
    B、2
    		2
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    D、
    		2

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    2
    5
    B、
    2
    5
    C、0
    D、-
    2
    5
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    2
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    1
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    1
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    1
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    3
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    3
    5
    ，θ∈（-
    π
    2
    ，
    π
    2
    ），求f（2θ+
    π
    12
    ）．

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