Question

已知函数f（x）=2

3

cosxsinx+2cos²x
（1）求f（

4π

3

）的值；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的倍角公式及两角和公式对函数解析式化简，然后把x=

4π

3

带入函数解析式求得答案．
（2）根据已知条件求得2x+

π

6

的范围，最后根据正弦函数的单调性取得函数的值域．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

cosxsinx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∴f（

4π

3

）=2sin（

8π

3

+

π

6

）+1=2sin

17π

6

+1=2sin

π

6

+1=2
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1
∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴0≤2sin（2x+

π

6

）+1≤3，
即f（x）的值域是[0，3]

点评：本题主要考查了三角函数中恒等变换的运用．一般步骤是先化简，在根据三角函数的基本性质求得问题的解决．