Question

20．若关于x的多项式f（x）满足：（x-1）²f（x）=x⁴+ax+b（其中a，b∈R），则ab=-12．

Answer 1

分析 因为最终结果是x的4次方，所以f（x）肯定是一个关于x的最高次数是2次的一个多项式，设出函数f（x）的表达式，代入计算，利用系数相等求出a，b的值即可．

解答 解：（x-1）²f（x）=x⁴+ax+b，
因为最终结果是x的4次方，
所以f（x）肯定是一个关于x的最高次数是2次的一个多项式．
（x-1）²f（x）=（x²-2x+1）f（x），
设f（x）=tx²+mx+n，那么
（x²-2x+1）（tx²+mx+n）
=t（x²）²+mx³+nx²-2tx³-2mx²-2nx+tx²+mx+n
=t（x²）²+（m-2t）x³+（n-2m+t）x²+（m-2n）x+n，
∴t=1，m-2t=0，n-2m+t=0，
m-2n=a，n=b，
解得：t=1，m=2，n=3，a=-4，b=3
所以ab=-12，
故答案为：-12．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，设出函数f（x）的解析式代入得到相对应的系数相等是解题的关键．