Question

已知关于x的不等式 （ ax-5 ）（ x-a ）＜0 的解集为M．
（1） 当a=4时，求集合M．
（2） 当3∈M，求实数a的取值范围．
（3） 当3∈M且5∉M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=4代入不等式中，求出解集即可得到集合M；
（2）因为3属于集合M，所以把x=3代入不等式中，求出关于a的不等式的解集即可得到a的取值范围；
（3）因为3∈M且5∉M，先把x=5代入不等式求出a的范围，然后取范围的补集，与（2）中求出a的范围联立求出公共解集即可．

解答：解：（1）当a=4时，不等式变为（4x-5）（x-4）＜0即

4x-5＜0 x-4＞0

或

4x-5＞0 x-4＜0

解得

5

4

＜x＜4，所以M=(

5

4

，4)；
（2）把x=3代入不等式得（3a-5）（3-a）＜0即

3a-5＞0 3-a＜0

或

3a-5＜0 3-a＞0

解得a＞3或a＜

5

3

；
（3）把x=5代入不等式得（5a-5）（5-a）＜0即

5a-5＞0 5-a＜0

或

5a-5＜0 5-a＞0

解得a＞5或a＜1，因为5∉M，所以1≤a≤5
由于3∈M，由（2）得a＞3或a＜

5

3

，所以实数a的取值范围为：[1，

5

3

)∪(3，5]

点评：本题属于以元素与集合的关系为平台，考查了求一元二次不等式的解集的方法，是一道中档题．