Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+2，x≥0}\\{{（\frac{1}{2}）}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若函数y=f[f（x）]-1有且只有1个零点，则实数k的取值范围是（-∞，-1]∪（-$\frac{1}{2}$，0）．

Answer 1

分析 函数y=f[f（x）]-1有且只有1个零点可化为方程f[f（x）]-1=0有且只有1个根，然后分类求解可得实数k的取值范围．

解答 解：函数y=f[f（x）]-1有且只有1个零点，即方程f[f（x）]-1=0有且只有1个根．
①若k≥0，则当x≥0时，f（x）=kx+2≥0，
f[f（x）]=kf（x）+2≥2，不合题意；
当x＜0时，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$，
f[f（x）]=kf（x）+2=$k（\frac{1}{2}）^{x}+2≥2$，不合题意．
故函数y=f[f（x）]-1没有零点；
②若k＜0，则当x∈[0，$-\frac{2}{k}$]时，f（x）=kx+2≥0，
f[f（x）]=k（kx+2）+2=k²x+2k+2，
由k²x+2k+2=1，得$x=\frac{-（2k+1）}{{k}^{2}}$，
由$0≤\frac{-（2k+1）}{{k}^{2}}≤-\frac{2}{k}$，解得：$k≤-\frac{1}{2}$；
当x∈（$-\frac{2}{k}，+∞$）时，f（x）=kx+2＜0，
f[f（x）]=$（\frac{1}{2}）^{kx+2}＞0$，
由$（\frac{1}{2}）^{kx+2}=1$，得kx+2=0，x=-$\frac{2}{k}$，不合题意；
当x＜0时，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$，
f[f（x）]=$k（\frac{1}{2}）^{x}+2$，
由$k（\frac{1}{2}）^{x}+2=1$，得$x=-lo{g}_{2}（-\frac{1}{k}）$，
由$-lo{g}_{2}（-\frac{1}{k}）＜0$，解得：-1＜k＜0．
综上，实数k的取值范围是（-∞，-1]∪（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查了分类讨论的数学思想方法，难度较大．