Question

11．已知函数f（x）=ax²+bx+c和g（x）=-bx，其中x∈R，a、b、c为常数．
（1）若函数f（x）的图象与g（x）的图象相交于点A（-3，3）和B（1，-1），求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）若f（2）=0，若a＞b＞c，且存在实数m满足f（m）＜0，求证：f（m+5）＞0；
（3）若b=-1，a＞0，c＞0，设h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$（x＞0），求函数h（x）在x∈[2，4]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据条件将A，B两点的坐标分别带入f（x），将B点的坐标带入g（x），便可得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即得a，b，c的值，从而求出函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）由f（2）=0及a＞b＞c便可得到$-\frac{b}{2a}=1+\frac{c}{4a}$，且a＞0，c＜0，从而有$-\frac{1}{2}＜-\frac{b}{2a}＜1$，$x=-\frac{b}{2a}$是f（x）的对称轴．可设f（x）=0的另一个实根为x₂，从而有x₂＜0且2-x₂＜5，进一步得到x₂＞-3，这样由f（m）＜0便可得到-3＜m＜2，从而f（m+5）＞0；
（3）根据条件可得$h（x）=ax+\frac{c}{x}-1$，求导数$h′（x）=\frac{a（{x}^{2}-\frac{c}{a}）}{{x}^{2}}$，这样便可得到h（x）在$（0，\sqrt{\frac{c}{a}}）$内单调递减，在$[\sqrt{\frac{c}{a}}，+∞）$内单调递增，从而可讨论$\sqrt{\frac{c}{a}}$和区间[2，4]的关系：分$\sqrt{\frac{c}{a}}≤2，2＜\sqrt{\frac{c}{a}}＜4$和$\sqrt{\frac{c}{a}}≥4$这几种情况，对于每种情况，根据h（x）在[2，4]上的单调性便可求出h（x）的最小值．

解答 解：（1）f（x）和g（x）的图象交于点A，B；
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=3}\\{a+b+c=-1}\\{-b=-1}\end{array}\right.$；
解得a=1，b=1，c=-3；
∴f（x）=x²+x-3，g（x）=-x；
（2）证明：f（2）=4a+2b+c=0；
∵a＞b＞c；
∴a＞0，c＜0，且$-\frac{b}{a}=2+\frac{c}{2a}$；
∴$-\frac{b}{2a}=1+\frac{c}{4a}＜1$，且$-\frac{b}{2a}＞-\frac{1}{2}$；
即$-\frac{1}{2}＜-\frac{b}{2a}＜1$；
∴f（x）的对称轴在区间$（-\frac{1}{2}，1）$内；
设f（x）=0的另一个根为x₂，则2x₂=$\frac{c}{a}＜0$；
∴x₂＜0；
∴$2-{x}_{2}＜2[2-（-\frac{1}{2}）]=5$；
∴x₂＞-3；
∵f（m）＜0；
∴-3＜m＜2；
∴m+5＞2；
∴f（m+5）＞0；
（3）b=-1，g（x）=x；
∴$h（x）=\frac{a{x}^{2}-x+c}{x}=ax+\frac{c}{x}-1$，$h′（x）=a-\frac{c}{{x}^{2}}=\frac{a（{x}^{2}-\frac{c}{a}）}{{x}^{2}}$；
∵a＞0，c＞0，x＞0；
∴$x∈（0，\sqrt{\frac{c}{a}}）$时，h′（x）＜0，x$∈（\sqrt{\frac{c}{a}}，+∞）$时，h′（x）＞0；
∴h（x）在$（0，\sqrt{\frac{c}{a}}）$内单调递减，在$[\sqrt{\frac{c}{a}}，+∞）$内单调递增；
①若$\sqrt{\frac{c}{a}}≤2$，则h（x）在[2，4]上单调递增；
∴x=2时，h（x）取最小值2a$+\frac{c}{2}-1$；
②若$2＜\sqrt{\frac{c}{a}}＜4$，则x=$\sqrt{\frac{c}{a}}$时，h（x）取最小值$2\sqrt{ac}-1$；
③若$\sqrt{\frac{c}{a}}≥4$，则h（x）在[2，4]上单调递减；
∴x=4时，h（x）取最小值$4a+\frac{c}{4}-1$．

点评 考查函数图象上点的坐标和函数解析式的关系，二次函数的对称轴，韦达定理，以及要熟悉二次函数的图象，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数单调性求函数在闭区间上的最小值的方法．