Question

16．2014年，中国联想集团以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌；2014年摩托罗拉手机的销售量为100万部．据专家预测，从2015年起，摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，每年的销售利润比上一年减少10%．已知2014年销售利润平均每部为300元．
（Ⅰ）若把2014年看做第一年，第n年的销售利润为多少？
（Ⅱ）到2020年年底，中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利？（即销售利润超过总投资，参考数据：0.9⁶≈0.53，0.9⁷≈0.47，0.9⁸≈0.43）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）仔细阅读题意得出机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列．
每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列．求出关于n的通项公式
即可得出第n年的销售利润．
（II）运用导数得出S=30000（1+2×0.9+3×0.9²+4×0.9³+5×0.9⁴+6×0.9⁵+7×0.9⁶）
再运用错位相减法求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，因此手机的销售量构成了首项为100，
公差为100的等差数列．
∴a_n=100n，
∵手机销售利润按照每年比上一年减10%，因此每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列．∴${b_n}=300×{0.9^{n-1}}$．
∴第n年的销售利润记为c_n，则${c_n}={a_n}×{b_n}=30000n×{0.9^{n-1}}$．
（Ⅱ）到2020年年底，设销售利润总和为S万元，
则S=30000（1+2×0.9+3×0.9²+4×0.9³+5×0.9⁴+6×0.9⁵+7×0.9⁶）①，
0.9S=30000（1×0.9+2×0.9²+3×0.9³+4×0.9⁴+5×0.9⁵+6×0.9⁶+7×0.9⁷）②
①-②得S=30000（100-170×0.9⁷）≈603000万元=60.3亿元        
而总投资为28+30=58亿元，
∵60.3＞58，∴可以盈利．
答：（Ⅰ）第n年的销售利润为30000n×0.9^n-1万元；
（Ⅱ）到2020年年底，中国联想集团能通过摩托罗拉手机实现盈利．

点评 本题考察了等差，等比数列的定义，通项公式，前n项和的求解，错位相减法的运用，考察了，阅读分析，计算化简能力．