Question

4．已知函数f（x）=$\frac{x+2}{x-1}$，g（x）=a^x（a＞1），若存在x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，则实数m的取值范围为（1，4）；若对任意实数x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，2），使得g（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的最小值为2．

Answer 1

分析 利用分离常数法化简m=f（x₀）=$\frac{{x}_{0}+2}{{x}_{0}-1}$=1+$\frac{3}{{x}_{0}-1}$，从而求实数m的取值范围；再由x₂∈（1，2）知f（x₂）∈（4，+∞）；从而可得a²≥4；从而解得．

解答 解：∵m=f（x₀）=$\frac{{x}_{0}+2}{{x}_{0}-1}$=1+$\frac{3}{{x}_{0}-1}$，
又∵x₀∈（2，+∞），
∴1＜1+$\frac{3}{{x}_{0}-1}$＜4，
即实数m的取值范围为（1，4）；
∵x₂∈（1，2）时，f（x₂）∈（4，+∞）；
又∵对任意实数x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，2），使得g（x₁）=f（x₂）成立，
∴a²≥4；
故a≥2；
即实数a的最小值为2；
故答案为：（1，4），2．

点评 本题考查了分离常数法求函数的值域及函数的零点与方程的根的关系应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．