Question

6．已知$\overrightarrow p=（x，|x-a|），a∈R，\overrightarrow q=（x，x-1）$，函数 f（x）=$\overrightarrow p•\overrightarrow q$（x∈R）．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=-1的函数f（x）的解析式，去绝对值，解方程即可得到；
（2）将f（x）写成分段函数的形式，由二次函数的对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围；
（3）设g（x）=f（x）-（2x-3），不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．求出x＜a和x≥a的值域，求得最小值，解不等式，即可得到所求范围．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow p•\overrightarrow q$=x²+（x-1）|x-a|（x∈R）．
（1）当a=-1时，故有f（x）=x²+（x-1）|x+1|，
即有$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}-1，\;x≥-1}\\{1，\;x＜-1}\end{array}}\right.$，
当x≥-1时，由f（x）=1，有2x²-1=1，解得x=1或x=-1，
当x＜-1时，f（x）=1恒成立，
∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}；
（2）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}-（a+1）x+a，\;\;x≥a}\\{（a+1）x-a，x＜a}\end{array}}\right.$，
若f（x）在R上单调递增，则有$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{4}≤a}\\{a+1＞0}\end{array}}\right.$，解得，$a≥\frac{1}{3}$
∴当$a≥\frac{1}{3}$时，f（x）在R上单调递增；
（3）设g（x）=f（x）-（2x-3），
则$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}-（a+3）x+a+3，x≥a}\\{（a-1）x-a+3，\;\;x＜a}\end{array}}\right.$，
不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，
等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．
∵a＜1，∴当x∈（-∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a²-2a+3，+∞），
由于a²-2a+3=（a-1）²+2≥2，所以g（x）≥0成立．     
当x∈[a，+∞）时，由a＜1，知$a＜\frac{a+3}{4}$，g（x）在$x=\frac{a+3}{4}$处取最小值，
令$g（\frac{a+3}{4}）=a+3-\frac{{{{（a+3）}^2}}}{8}≥0$，得-3≤a≤5，又a＜1，所以-3≤a＜1
综上，a∈[-3，1）．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，含绝对值函数的单调性和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题．