Question

1．抛物线x²=-4y的焦点为F，若抛物线上存在一点P，使得P到直线y=1的距离与到直线kx-y+2k+2=0的距离之和的最小值达到最大，则k的值为（　　）

• A． -$\frac{2}{3}$
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得，P到直线y=1的距离即为|PF|，P到直线y=1的距离与到直线kx-y+2k+2=0的距离之和的最小值，即为F到直线kx-y+2k+2=0的距离d，求得直线恒过定点C，当CF垂直于直线kx-y+2k+2=0时，d取得最大值．由直线垂直的条件，即可得到结论．

解答 解：抛物线x²=-4y的焦点为F（0，-1），
准线为y=1，
由抛物线的定义可得，P到直线y=1的距离，
即为|PF|，
P到直线y=1的距离与到直线kx-y+2k+2=0的距离之和的最小值，
即为F到直线kx-y+2k+2=0的距离d，
由于直线kx-y+2k+2=0恒过定点C（-2，2），
当CF垂直于直线kx-y+2k+2=0时，d取得最大值．
由k_CF=$\frac{2-（-1）}{-2-0}$=-$\frac{3}{2}$．
即有k=$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，同时考查两直线垂直的条件和直线恒过定点求法，属于中档题．