Question

11．一动圆与圆x²+y²-2x=0外切，同时与y轴相切，动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点P（4，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆经过坐标原点．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，求解曲线C的方程即可；
（2）设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理，证明x₁x₂+y₁y₂=0即可．

解答 解：（1）圆x²+y²-2x=0化为（x-1）²+y²=1的圆心C（1，0），
与圆x²+y²-2x=0外切，同时与y轴相切的动圆圆心满足：到定点C（1，0）与到定直线x=-1的距离相等，
因此与圆x²+y²-2x=0外切，同时与y轴相切的动圆圆心的轨迹是抛物线：y²=4x．
（2）依题意可设过P的直线l方程为：x=my+4（m∈R），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线代入y²=4x得：y²-4my-16=0，
依题意可知△＞0恒成立，且y₁•y₂=-16，
所以x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{16}$（y₁•y₂）²+y₁•y₂=0．
所以以AB为直径的圆经过坐标原点．

点评 本题考抛物线的标准方程的求法，直线与椭抛物线的位置关系，抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．