Question

3．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sin$\frac{A}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，2cos²$\frac{A}{4}$-1），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角A的大小；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{7}$且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$利用向量共线定理可得：$2sin\frac{A}{2}（2co{s}^{2}\frac{A}{4}-1）-$$\sqrt{3}$cosA=0，化为tanA=$\sqrt{3}$，即可解得A．
（2）由△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，可得bc=6，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，化为b+c=5．联立解得即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴$2sin\frac{A}{2}（2co{s}^{2}\frac{A}{4}-1）-$$\sqrt{3}$cosA=0，
∴sinA-$\sqrt{3}$cosA=0，化为tanA=$\sqrt{3}$，
∵A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，化为bc=6，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴7=（b+c）²-2bc-2bc$cos\frac{π}{3}$，解得b+c=5．
联立解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了向量共线定理、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．