Question

8．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$=-1．
（1）求角A的值；
（2）若b-c=1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将（a+b+c）（b+c-a）=3bc化简为b²+c²-a²=bc，根据余弦定理的推论求出cosA的值，由内角的范围求出角A；
（2）根据向量的数量积运算化简$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}=-1$，求出bc，再结合条件求出b和c的值，利用余弦定理求出边a的值．

解答 解：（1）因为（a+b+c）（b+c-a）=3bc，所以b²+c²-a²=bc，
由余弦定理的推论得，$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）因为$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}=-1$，所以$bccos（π-\frac{π}{3}）=-1$，
解得bc=2     ①
又b-c=1   ②，
由①②解得b=2，c=1，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=3，
解得$a=\sqrt{3}$…（13分）

点评 本题考查余弦定理以及推论，以及向量的数量积运算的应用，属于中档题．