Question

18．已知函数y=sin²x+cosx+$\frac{3}{4}（x∈[0，\frac{2π}{3}]）$，则函数的值域为（　　）

• A． $[-\frac{1}{4}，\frac{7}{4}]$
• B． [1，2]
• C． $[-\frac{3}{4}，1]$
• D． $[-\frac{1}{4}，2]$

Answer 1

分析 由条件利用余弦函数的定义域和值域可得 cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，再利用二次函数的性质求得y=-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$+2 的值域．

解答 解：∵函数y=sin²x+cosx+$\frac{3}{4}$=1-cos²x+cosx+$\frac{3}{4}$=-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$+2，x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴cosx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，故当cosx=$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值为2；当cosx=-$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值为1，
故函数的值域为[1，2]，
故选：B．

点评 本题主要考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．