Question

3．七个实数排成一排，奇数项成A•P，偶数项成G•P，且奇数项之和与偶数项之积的差为42．首末两项与中间项之和为27，求中间的值．

Answer 1

分析 由题意设七个实数为：a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆、a₇，根据等差、等比数列的性质可得：a₁+a₇=a₃+a₅，${{a}_{4}}^{2}={a}_{2}{a}_{6}$，根据条件列出方程组化简后求出中间的值．

解答 解：由题意设七个实数为：a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆、a₇，
其中奇数项：a₁、a₃、a₅、a₇成等差数列，偶数项：a₂、a₄、a₆成等比数列，
∴a₁+a₇=a₃+a₅，${{a}_{4}}^{2}={a}_{2}{a}_{6}$，
∵奇数项之和与偶数项之积的差为42．首末两项与中间项之和为27，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{3}+{a}_{5}+{a}_{7}-{a}_{4}{a}_{6}=42}\\{{a}_{1}+{a}_{7}+{a}_{4}=27}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{2{（a}_{1}+{a}_{7}）-{{a}_{4}}^{3}=42}\\{{a}_{1}+{a}_{7}+{a}_{4}=27}\end{array}\right.$，
化简可得${{a}_{4}}^{3}+2{a}_{4}-12=0$，
∴${{a}_{4}}^{3}-8+2{a}_{4}-4=0$，则$（{a}_{4}-2）（{{a}_{4}}^{2}+2{a}_{4}+6）=0$，
∵${{a}_{4}}^{2}+2{a}_{4}+6$=${{（a}_{4}+1）}^{2}+5＞0$，
∴a₄-2=0，则a₄=2，
∴中间的值是2．

点评 本题考查等差、等比数列的性质的灵活应用，以及整体代换求值，考查化简变形能力，属于中档题．