Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2).

【解析】分析：（1）先求一阶导函数的根，求解或的解集，写出单调区间。

（2）当时，求出的最小值，存在，使的最小值，

再分离变量构建函数，解。

详解：（1）的定义域为，

又，

令，得或.

当，则，由得，由得，

函数在上单调递减，在上单调递增.

当，则，由得，

由得或，

函数在上单调递减，在和上单调递增.

当，则，可得，

此时函数在上单调递增.

当时，则，由得，

由得或，

函数在上单调递减，在和上单调递增.

（2）当时，由（1）得函数在上单调递减，

在和上单调递增，

从而在上的最小值为.

对任意，存在，使，

即存在，函数值不超过在区间上的最小值.

由得，.

记，则当时，.

，当，显然有，

当，，

故在区间上单调递减，得，

从而的取值范围为.