Question

20．如图，△ABC中，sin$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，AB=2，点D为线段AC上一点，过D作DE垂直于AB与E，作DF垂直于BC与F．
（1）若AD=2DC，则BD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，求BC的长．
（2）在（1）的结论下，若点D为线段AC上运动，求△DEF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式求得cos∠ABC，根据余弦定理求得9b²=a²+4-$\frac{4a}{3}$，△ABD和△DBC中，cos∠ADB和cos∠DBC，由cos∠ADB=-cos∠BDC，即可求得3b²-a²=-6，即可求得BC的长；
（2）设DE=d₁，DF=d₂，求得△ABC的面积，即可求得${d_1}•{d_2}≤\frac{4}{3}$，由三角形△DEF，S=$\frac{1}{2}{d_1}•{d_2}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}≤\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$，即可求得△DEF面积的最大值．

解答 解：（1）因为sin$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由二倍角公式可知：
所以cos∠ABC=1-2×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$．
△ABC中，设BC=a，AC=3b，
则由余弦定理可得：9b²=a²+4-$\frac{4a}{3}$①
在△ABD和△DBC中，
由余弦定理可得cos∠ADB=$\frac{4{b}^{2}+\frac{16}{3}-4}{\frac{16\sqrt{3}}{3}b}$，cos∠DBC=$\frac{{b}^{2}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}b}$．
因为cos∠ADB=-cos∠BDC，
所以有$\frac{4{b}^{2}+\frac{16}{3}-4}{\frac{16\sqrt{3}}{3}b}$=-$\frac{{b}^{2}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}b}$．，
所以3b²-a²=-6，②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3．
（2）令DE=d₁，DF=d₂，
则△ABC的面积为$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$=${d_1}+\frac{3}{2}{d_2}≥2\sqrt{\frac{3}{2}{d_1}•{d_2}}$，
从而可得${d_1}•{d_2}≤\frac{4}{3}$，
而△DEF的面积为$\frac{1}{2}{d_1}•{d_2}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}≤\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$（当且仅当${d_1}=\frac{3}{2}{d_2}$时取等）．
△DEF面积的最大值$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查余弦定理及基本不等式的应用，考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．