Question

15．已知函数f（x）=（ax²-lnx）（x-lnx）（a∈R）．
（1）当a=6时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）设g（x）=x-lnx，（x＞0），求出函数的导数，得到若f（x）＞0恒成立，则ax²-lnx＞0恒成立，问题转化为$a＞{（\frac{lnx}{x^2}）_{max}}$，设$h（x）=\frac{lnx}{x^2}（x＞0）$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=6时，
$f'（x）=（12x-\frac{1}{x}）（x-lnx）+（6{x^2}-lnx）（1-\frac{1}{x}）$，
∴f'（1）=11，f（1）=6，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-6=11（x-1），
即y=11x-5．
（2）设g（x）=x-lnx，（x＞0），
则$g'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）递减，
当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）递增，
所以当x＞0时，g（x）≥g（1）=1＞0．
若f（x）＞0恒成立，则ax²-lnx＞0恒成立，
∴$a＞{（\frac{lnx}{x^2}）_{max}}$．
设$h（x）=\frac{lnx}{x^2}（x＞0）$，则$h'（x）=\frac{1-2lnx}{x^2}$，
当$0＜x＜{e^{\frac{1}{2}}}$时，h'（x）＞0，函数h（x）递增，
当$x＞{e^{\frac{1}{2}}}$时，h'（x）＜0，函数g（x）递减，
所以当x＞0时，$h{（x）_{max}}=h（{e^{\frac{1}{2}}}）=\frac{1}{2e}$，
∴.$a＞\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立，是一道中档题．