Question

17．已知a＞0，且a≠1，函数$f（x）=\frac{5{a}^{x}+3}{{a}^{x}+1}+ln（\sqrt{1+4{x}^{2}}-2x）（-1≤x≤1）$，设函数f（x）的最大值为M，最小值为N，则（　　）

• A． M+N=8
• B． M+N=10
• C． M-N=8
• D． M-N=10

Answer 1

分析 将f（x）分解成f（x）=5+h（x）+g（x），分别求出g（x）和h（x）的最大值、最小值的和，从而求出M+N的值即可．

解答 解：$f（x）=\frac{5{a}^{x}+3}{{a}^{x}+1}+ln（\sqrt{1+4{x}^{2}}-2x）（-1≤x≤1）$，
令g（x）=ln（$\sqrt{1+{4x}^{2}}$-2x），x∈[-1，1]，
由g（-x）=ln（$\sqrt{1+{4x}^{2}}$+2x）=ln$\frac{1}{\sqrt{1+{4x}^{2}}-2x}$
=-ln（$\sqrt{1+{4x}^{2}}$-2x）=-g（x），
可知g（-x）=-g（x），
故g（x）函数的图象关于原点对称，
设g（x）的最大值是a，则g（x）的最小值是-a，
由$\frac{{5a}^{x}+3}{{a}^{x}+1}$=5-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
令h（x）=-$\frac{2}{{a}^{x}+1}$，
0＜a＜1时，h（x）在[-1，1]递减，
h（x）的最小值是h（-1）=-$\frac{2a}{a+1}$，
h（x）的最大值是h（1）=-$\frac{2}{a+1}$，
故h（-1）+h（1）=-2，
∴f（x）的最大值与最小值的和是10-2=8，
a＞1时，h（x）在[-1，1]递增，
h（x）的最大值是h（-1）=-$\frac{2a}{a+1}$，
h（x）的最小值是h（1）=-$\frac{2}{a+1}$，
故h（-1）+h（1）=-2，
故函数f（x）的最大值与最小值之和为8，
综上：函数f（x）的最大值与最小值之和为8，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．