Question

16．已知函数f（x）=x²-|x|，若f（log₃（m+1））＜f（2），则实数m的取值范围是（-$\frac{8}{9}$，8）．

Answer 1

分析 分析f（x）=x²-|x|在（0，+∞）上的表达式，可以得到函数图象位于y轴右侧图象，再根据已知条件，可以得出函数f（x）=x²-|x|为R上的偶函数，因此作出函数完整的图象，再根据图象解不等式f（log₃（m+1））＜f（2），问题变得简单易行，最后解决关于m的对数不等式，可得实数m的取值范围．

解答 解：易知函数f（x）=x²-|x|为偶函数，
且x∈（0，+∞）时，f（x）=x²-x，
在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，（ $\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
作出f（x）图象如图所示：

因此不等式f（log₃（m+1））＜f（2）等价于$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{-2＜lo{g}_{3}（m+1）＜2}\end{array}\right.$
解这个不等式得$-\frac{8}{9}$＜m＜8
故答案为：（-$\frac{8}{9}$，8）．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质，以及对数不等式的解法，属于中档题．解决本题的关键是结合函数性质来解不等式问题，利用化归转化和数形结合思想解题．