Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一动点P，与圆（x-1）²+y²=1上一动点Q，及圆（x+1）²+y²=1上一动点R，则|PQ|+|PR|的最大值为6．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的两焦点恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心坐标．设椭圆左右焦点为F₁，F₂，由三角形两边之差小于第三边知：|PR|最小为|PF₁|-1，最大为|PF₁|+1，同理：|PQ|最小为|PF₂|-1，最大为|PF₂|+1，从而可求|PQ|+|PR|的最大值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的两焦点为（-1，0），（1，0），
恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心坐标．
设椭圆左右焦点为F₁，F₂，
由三角形两边之差小于第三边知：|PR|最小为|PF₁|-1，最大为|PF₁|+1
同理：|PQ|最小为|PF₂|-1，最大为|PF₂|+1
∴|PQ|+|PR|的最小为|PF₁|+|PF₂|-2=2×2-2=2，最大为|PF₁|+|PF₂|+2=2×2+2=6
故|PQ|+|PR|的最大值为6，
故答案为：6．

点评 本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查线段和的取值范围问题，解题的关键是利用椭圆的两焦点恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心坐标．