Question

12．在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$，若$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，则x+y的值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 5
• D． 7

Answer 1

分析 由已知利用勾股定理可得|AD|，从而可得$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$=4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，由向量的加法可得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，利用平面向量的基本定理及其意义即可得解x，y的值，进而得解．

解答 解：∵在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，
∴利用勾股定理可得：|AD|=4，
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$=4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴x=3，y=4，可得：x+y=7．
故选：D．

点评 本题主要考查了勾股定理，向量的加法，平面向量的基本定理及其意义的应用，考查了转化思想，属于基础题．