Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为， 与的交点为.

（1）判断点与曲线的位置关系；

（2）点为曲线上的任意一点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先联立两直线的极坐标方程，求出交点的极坐标，再利用互化公式得到交点的直角坐标，消参得到曲线的普通方程，代点判定点和曲线的位置关系；（2）利用两点间的距离公式和二次函数的最值进行求解.

试题解析：（1）法一：由得，

所以与的交点的极坐标为，即点的直角坐标为．

又曲线C的普通方程为，

且，所以点M在曲线上．

法二：直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．

由得所以与的交点的直角坐标为．

又曲线C的普通方程为，且，所以点M在曲线上．

（2）法一：设点P的直角坐标为，

，

当时， ，

所以的最大值为．

法二：设点P，其中，

则,

所以当时， ，

所以的最大值为．