Question

10．某校开设A、B、C、D、E五门选修课，要求每位同学彼此独立地从中选修3门课程．某甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（1）求甲同学选中C课程且乙、丙同学未选C课程的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设甲同学选中C课程为事件A，乙同学选中C课程为事件B，丙同学选中C课程为事件C，甲同学选中C课程且乙、丙同学未选C课程为事件D，由P（D）=P（A）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$），能求出甲同学选中C课程且乙、丙同学未选C课程的概率．
（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．

解答 解：（1）设甲同学选中C课程为事件A，乙同学选中C课程为事件B，丙同学选中C课程为事件C，
甲同学选中C课程且乙、丙同学未选C课程为事件D，
由P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{2}{5}$，P（$\overline{C}$）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{2}{5}$，
由题意知每位同学选课彼此独立，
∴甲同学选中C课程且乙、丙同学未选C课程的概率：
P（D）=P（A）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{8}{75}$．
（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{75}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{20}{75}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{3}×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{33}{75}$，
P（X=3）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{18}{75}$．
则X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{11}{25}$	$\frac{6}{25}$

∴数学期望E（X）=$0×\frac{4}{75}+1×\frac{4}{15}+2×\frac{11}{25}+3×\frac{6}{25}$=$\frac{28}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．