Question

15．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表

方式	实施地点	大雨	中雨	小雨	模拟实验总次数
A	甲	4次	6次	2次	12次
B	乙	3次	6次	3次	12次
C	丙	2次	2次	8次	12次

假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据
（I）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由人工降雨模拟试验的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，求出大雨、中雨、小雨的概率分布表，由此利用相互独立事件概率计算公式能求出甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率．
（Ⅱ）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p₁，p₂，p₃，则${p}_{1}=p（{A}_{2}）=\frac{1}{2}$，p₂=p（B₁）=$\frac{1}{4}$，p₃=P（C₂）+P（C₃）=$\frac{5}{6}$，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由人工降雨模拟试验的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，
得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：

方式	实施地点	大雨	中雨	小雨
A	甲	P（A1）=$\frac{1}{3}$	P（A2）=$\frac{1}{2}$	P（A3）=$\frac{1}{6}$
B	乙	P（B1）=$\frac{1}{4}$	P（B2）=$\frac{1}{2}$	P（B3）=$\frac{1}{4}$
C	丙	P（C1）=$\frac{1}{6}$	P（C2）=$\frac{1}{6}$	P（C3）=$\frac{2}{3}$

记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E，
则P（E）=P（A₂）P（B₂）P（C₂）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$．
（Ⅱ）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p₁，p₂，p₃，
则${p}_{1}=p（{A}_{2}）=\frac{1}{2}$，p₂=p（B₁）=$\frac{1}{4}$，p₃=P（C₂）+P（C₃）=$\frac{5}{6}$，
ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{6}$=$\frac{3}{48}$，
P（ξ=1）=p₁（1-p₂）（1-p₃）+（1-p₁）p₂（1-p₃）+（1-p₁）（1-p₂）p₃
=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}$=$\frac{19}{48}$，
P（ξ=2）=p₁p₂（1-p₃）+（1-p₁）p₂p₃+p₁（1-p₂）p₃
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}$=$\frac{21}{48}$，
P（ξ=3）=p₁p₂p₃=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{48}$，
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{3}{48}$	$\frac{19}{48}$	$\frac{21}{48}$	$\frac{5}{48}$

Eξ=$\frac{3}{48}×0+\frac{18}{49}×1+\frac{21}{48}×2+\frac{5}{48}×3$=$\frac{19}{12}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用．