Question

5．已知a+b=1，（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≥0，求证：$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．

Answer 1

分析 运用分析法证明，要证原不等式成立，可通过两边平方，化简整理，再由配方即可得证．

解答 证明：由a+b=1，（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≥0，
可得a+$\frac{1}{2}$≥0，b+$\frac{1}{2}$≥0，
要证$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2，
两边平方即证a+b+1+2$\sqrt{（a+\frac{1}{2}）（b+\frac{1}{2}）}$≤4，
即为$\sqrt{（a+\frac{1}{2}）（b+\frac{1}{2}）}$≤1，
再两边平方可得（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≤1，
展开即为ab+$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{1}{4}$≤1，代入a+b=1，
可得ab≤$\frac{1}{4}$，即有a（1-a）-$\frac{1}{4}$≤0，
即为-（a-$\frac{1}{2}$）²≤0，显然成立．
则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，运用了分析法证明，这是常用方法，本题也可运用柯西不等式：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），考查推理能力，属于中档题．