Question

15．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AA₁=4，且A₁C⊥底面ABCD．
（I）证明：平面ACC₁A₁⊥平面DBB₁D₁．
（Ⅱ）求直线A₁C与平面DBB₁D₁所成角．

Answer 1

分析 （I）由A₁C⊥底面ABCD得A₁C⊥BD，由菱形性质得AC⊥BD，故BD⊥平面ACC₁A₁，从而平面ACC₁A₁⊥平面DBB₁D₁．
（II）连结上下底面中心O₁O，过A₁作A₁F⊥O₁O，则A₁F⊥平面DBB₁D₁．设A₁与O₁O的交点为E，于是∠A₁EF为直线A₁C与平面DBB₁D₁所成的角．根据等边三角形性质求出OC，OE解出∠OEC即∠A₁EF的大小．

解答 （I）证明：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵A₁C⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁C⊥BD，
又AC?平面ACC₁A₁，A₁C?平面ACC₁A₁，AC∩A₁C=C，
∴BD⊥面ACC₁A₁，而BD∈面DBB₁D₁，
∴面ACC₁A₁⊥面DBB₁D₁．
（II）解：设四棱柱上下底面中心分别是O₁、O，连接O₁O，
则四边形ACC₁A₁为平行四边形，设O₁O与A₁C的交点为E，过A₁作A₁⊥FO₁O于F，
∵平面ACC₁A₁⊥平面DBB₁D₁，平面ACC₁A₁∩面DBB₁D₁=O₁O，A₁F⊥O₁O，A₁F?面ACC₁A₁，
∴A₁F⊥面DBB₁D₁．
∴∠A₁EF为直线A₁C与平面DBB₁D₁所成的角．
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AA₁=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，∠A₁CA=90°，OE=$\frac{1}{2}$AA₁=2，
∴$sin∠OEC=\frac{OC}{OE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴∠OEC=60°．
∴∠A₁EF=∠OEC=60°．
∴直线A₁C与面DBB₁D₁所成角为60°．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．