Question

6．在三棱锥D-ABC中，已知AB=BC=AD=$\sqrt{2}$，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D-ABC外接球的表面积为（　　）

• A． 6π
• B． 12π
• C． 6$\sqrt{3}$π
• D． 6$\sqrt{2}$π

Answer 1

分析 利用直线平面的垂直得出BD⊥BC，AD⊥AC利用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的半径．

解答 解：∵AB=BC=AD=$\sqrt{2}$，BD=AC=2，BC⊥AD，
∴AB²+BC²=AC²，AD²+AB²=BD²，
AB⊥BC，AD⊥AB，
∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，
∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，
∵BD?面ABD，AC?面ACB；
∴BD⊥BC，AD⊥AC，
∵O为DC中点，
∴直角三角形中得出：OA=OB=OC=OD，
O 为外接球的球心，
半径R=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为：4π×（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=6π，
故选：A．

点评 本题综合考查了直线平面的垂直的判断性质定理，综合运用平面知识解决空间问题的能力．