如图所示,是正三角形,和都垂直于平面,且,是的中点.
求证:(1)平面;
(2).
(1)根据题意,取AB中点N,连接FN、NC;又F为BE的中点 ∴FN为的中位线,那么FN∥AE,进而得到平行性,AE∥CD,得到结论。
(2)对于已知中,由于AE="AB" F是BE的中点 在中N是AB的中点 ∴AF⊥BE CN⊥AB,那么根据线面垂直的性质定理来的得到结论。
解析试题分析:证明:(1)取AB中点N,连接FN、NC;又F为BE的中点 ∴FN为的中位线, ∴FN∥AE FN=AE 又AE、CD都垂直与面ABC,2CD=AE ∴AE∥CD ∴ CD∥FN且CD=FN
∴四边形CDFN为平行四边形 ∴DF∥CN 又CN面ABC ∴ DF∥面ABC
(2)∵AE="AB" F是BE的中点 在中N是AB的中点 ∴AF⊥BE CN⊥AB
∵AE⊥面ABC AE面ABE ∴面ABE⊥面ABC 又CN⊥AB ∴CN⊥面ABE
∴ DF⊥面ABE ∴ DB在平面ABE的射影为BF ∴ AF⊥BD
考点:平行和垂直的证明
点评:主要是考查了熟练的运用中位线来证明平行和线面垂直的性质定理的运用,属于基础题。
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如图,在三棱柱ABC—中,底面为正三角形,平面ABC,=2AB,N是的中点,M是线段上的动点。
(1)当M在什么位置时,,请给出证明;
(2)若直线MN与平面ABN所成角的大小为,求的最大值。
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如图(1),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,现将梯形沿CB、DA折起,使EF//AB且,得一简单组合体如图(2)所示,已知分别为的中点.
图(1) 图(2)
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面.
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在图一所示的平面图形中,是边长为 的等边三角形,是分别以为底的全等的等腰三角形,现将该平面图形分别沿折叠,使所在平面都与平面垂直,连接,得到图二所示的几何体,据此几何体解决下面问题.
(1)求证:;
(2)当时,求三棱锥的体积;
(3)在(2)的前提下,求二面角的余弦值.
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已知如图:平行四边形ABCD中,,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.
(1)求证:GH∥平面CDE;
(2)若,求四棱锥F-ABCD的体积.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4, BD=,AB=2CD=8.
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
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如图, 三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC1上动点, F是AB中点, AC =" 1," BC =" 2," AA1 =" 4."
(1) 当E是棱CC1中点时, 求证: CF∥平面AEB1;
(2) 在棱CC1上是否存在点E, 使得二面角A—EB1—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的长, 若不存在,
请说明理由.
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已知四边形ABCD为平行四边形,BC⊥平面ABE,AE⊥BE,BE = BC = 1,AE = ,M为线段AB的中点,N为线段DE的中点,P为线段AE的中点。
(1)求证:MN⊥EA;
(2)求四棱锥M – ADNP的体积。
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