Question

如图, 三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC₁上动点, F是AB中点, AC =" 1," BC =" 2," AA₁ =" 4."

(1) 当E是棱CC₁中点时, 求证: CF∥平面AEB₁;
(2) 在棱CC₁上是否存在点E, 使得二面角A—EB₁—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的长, 若不存在,
请说明理由.

Answer 1

(1)取AB₁的中点G, 联结EG, FG，F、G分别是棱AB、AB₁中点, 
又FG∥EC, ,  FG＝EC　四边形FGEC是平行四边形, 平面AEB.
(2)在棱CC₁上存在点E, 符合题意, 此时

解析试题分析：(1)证明：取AB₁的中点G, 联结EG, FG
F、G分别是棱AB、AB₁中点, 
又FG∥EC, ,  FG＝EC　四边形FGEC是平行四边形,
                   4分
CF平面AEB₁, 平面AEB₁  平面AEB.        6分
(2)解：以C为坐标原点, 射线CA, CB, CC₁为轴正半轴,
建立如图所示的空间直角坐标系

则C(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B₁(0, 2, 4)
设, 平面AEB₁的法向量.
则,
由,
得     8分  
平面
是平面EBB₁的法向量,则平面EBB₁的法向量         10分
二面角A—EB₁—B的平面角余弦值为,
则解得
在棱CC₁上存在点E, 符合题意, 此时              12分
考点：线面平行的判定与二面角的求解
点评：线面平行的判定常借助于面内一直线与面外直线平行来证明，第二问求二面角主要借助了空间直角坐标系将二面角的问题转化为两个半平面的法向量所成角问题