如图,四棱锥E—ABCD中,ABCD是矩形,平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF平面AC E.
(1)求证:AEBE;
(2)求三棱锥D—AEC的体积;
(3)求二面角A—CD—E的余弦值.
(1)空间中的线线垂直的证明,一般主要是通过线面垂直的性质定理来加以证明。
(2)
(3)
解析试题分析:解:(1)ABCD是矩形,BCAB,平面EAB平面ABCD,平面EAB平面ABCD=AB,BC平面ABCD,BC平面EAB,
EA平面EAB,BCEA ,BF平面ACE,EA平面ACE,BF EA, BC BF=B,BC平面EBC,BF平面EBC,EA平面EBC ,BE平面EBC, EA BE。
(2) EA BE,AB=
,设O为AB的中点,连结EO,
∵AE=EB=2,EOAB,平面EAB平面ABCD,EO平面ABCD,即EO为三棱锥E—ADC的高,且EO=,。
(3)以O为原点,分别以OE、OB所在直线为,如图建立空间直角坐标系,
则,
,由(2)知是平面ACD的一个法向量,设平面ECD的法向量为,则,即,令,则,所以,设二面角A—CD—E的平面角的大小为,由图得,
所以二面角A—CD—E的余弦值为。
考点:二面角的平面角,线面垂直
点评:解决的关键是熟练的根据线面垂直的性质定理,以及建立直角坐标系来求解二面角的 平面角是常用 方法之一,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图(1),在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,现将梯形沿CB、DA折起,使EF//AB且,得一简单组合体如图(2)所示,已知分别为的中点.
图(1) 图(2)
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图, 三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC1上动点, F是AB中点, AC =" 1," BC =" 2," AA1 =" 4."
(1) 当E是棱CC1中点时, 求证: CF∥平面AEB1;
(2) 在棱CC1上是否存在点E, 使得二面角A—EB1—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的长, 若不存在,
请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知四边形ABCD为平行四边形,BC⊥平面ABE,AE⊥BE,BE = BC = 1,AE = ,M为线段AB的中点,N为线段DE的中点,P为线段AE的中点。
(1)求证:MN⊥EA;
(2)求四棱锥M – ADNP的体积。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,且AB=AD,BC=DC.
(1)求证:平面EFGH;
(2)求证:四边形EFGH是矩形.
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