【题目】如图,在三棱柱中,
平面
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求异面直线与
所成角的大小;
(Ⅲ)点在线段
上,且
,点
在线段
上,若
平面
,求
的值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)60°;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)推导出,
,
,从而
平面
,进而
,由此能证明
平面
;
(Ⅱ)以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线
与
所成角的大小为
;
(Ⅲ)求出平面的法向量,由
平面
,利用向量法能求出
的值.
解:(Ⅰ)证明:在三棱柱
中,
平面
,
,
.
,
,
,
,
平面
,
平面
,
,
,
平面
.
(Ⅱ)以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,
,0,
,
,0,
,
,2,
,
,0,
,
,0,
,
,
,
,
设异面直线与
所成角为
,
则,
.
异面直线
与
所成角的大小为
.
(Ⅲ)解:,2,
,
,0,
,
,0,
,
,0,
,
,0,
,
,2,
,
,2,
,
,0,
,
设平面的法向量
,
,
,
则,取
,得
,1,
,
点在线段
上,且
,点
在线段
上,
设,
,
,
,
,
,
,
则,
,
,
即,0,
,
,
,
,
,
,
,
,
解得,0,
,
,
,
,
,
,
,
平面
,
,
解得:.
∴的值为
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求圆的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)若直线与圆
交于
两点,
是圆
上不同于
两点的动点,求
面积的最大值.
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【题目】设a为实数,函数f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证:当a>ln2﹣1且x>0时,ex>x2﹣2ax+1.
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【题目】现将某校高二年级某班的学业水平测试数学成绩分为、
、
、
、
五组,绘制而成的茎叶图、频率分布直方图如下,由于工作疏忽,茎叶图有部分被损坏,频率分布直方图也不完整,请据此解答如下问题:(注:该班同学数学成绩均在区间
内)
(1)将频率分布直方图补充完整.
(2)该班希望组建两个数学学习互助小组,班上数学成绩最好的两位同学分别担任两组组长,将此次成绩低于60分的同学作为组员平均分到两组,即每组有一名组长和两名成绩低60分的组员,求此次考试成绩为52分、54分和98分的三名同学分到同一组的概率.
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【题目】某市有一面积为12000平方米的三角形地块,其中边
长为200米,现计划建一个如图所示的长方形停车场
,停车场的四个顶点都在
的三条边上,其余的地面全部绿化.若建停车场的费用为180元/平方米,绿化的费用为60元/平方米,设
米,建设工程的总费用为
元.
(1)求关于
的函数表达式:
(2)求停车场面积最大时的值,并求此时的工程总费用.
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【题目】已知数列的首项为1.记
.
(1)若为常数列,求
的值:
(2)若为公比为2的等比数列,求
的解析式:
(3)是否存在等差数列,使得
对一切
都成立?若存在,求出数列
的通项公式:若不存在,请说明理由.
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